SOMMAIRE

2.1 Chiffres et nombres

2.2 Opérations de base. Commutativité, associativité, distributivité

2.3 Nombres entiers. Division euclidienne, dernier théorème de Fermat, théorème des 4 carrés de Lagrange

2.4 Nombres premiers. Dénombrement, théorème des nombres premiers, crible d'Eratosthène, théorème fondamental de l'arithmétique, PPCM, PGCD, conjecture de Goldbach

2.5 Nombres rationnels. Forme réduite, décimales, opérations

2.6 Nombres irrationnels. Exemples célèbres, décimales, nombre d'or, nombres algébriques et transcendants

2.7 Nombres réels. Nombres négatifs, valeur absolue, degrés d'infinitude, notation scientifique

2.8 Nombres binaires. Description, règles de calcul

DU LIVRE

MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES

Retrouvez pour chaque section

les principales notions abordées.

L'exposé du livre Mathématiques élémentaires a été divisé de façon traditionnelle en chapitres (arithmétique, géométrie pure, algèbre, analyse...) et en sections (symbole §).

Cette division est indispensable pour la clarté de l'exposé et pour la commodité d'utilisation.

Certains sujets se retrouveront dans diverses sections car ils peuvent être abordés de multiples côtés.

Et l'on trouvera de nombreux renvois

d'une section vers une autre (ce qui

n'est possible en pratique, répétons-le, qu'avec un ouvrage unique).

1. Introduction

Ancre 1

2. Arithmétique

3. Géométrie pure

3.1 Points, droites et angles dans le plan. Axiome fondamental, parallèles, sécantes et perpendiculaires, médiatrice, mesures des angles, bissectrices, théorème de Thalès

3.2 Triangles. Points et figures remarquables, égalité et similitude, relations métriques et trigonométriques, compositions ternaires, aire, théorème de Pythagore

3.3 Quadrilatères. Angles, différents quadrilatères, aire

3.4 Cercles. Angles au centre, angle inscrit, tangente, longueur d'un arc, aire d'un secteur, polygones inscrits

3.5 Coniques.Définitions générales, caractéristiques spécifiques de l'ellipse, de la parabole et de l'hyperbole

3.6 Droites et plans dans l'espace. Définitions, parallélisme, orthogonalité

3.7 Solides. Polyèdres, relation d'Euler, corps ronds, section plane, volume, prisme, pyramide, solides de Platon, cylindre circulaire droit, cône circulaire droit, sphère

4. Algèbre et équations

5.1 Généralités sur les fonctions. Notion de fonction, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, méthode de dichotomie, changement d'origine, fonction implicite, fonction paramétrée, coordonnées polaires, fonction de 2 variables

5.2 Dérivation. Notion de dérivée, définition analytique, dérivée seconde, différentielle, théorèmes des accroissements finis et de Rolle, dérivées de sommes, de produits et de quotients de fonctions, dérivée d'une fonction de fonction, dérivées de fonctions courantes, dérivée d'une fonction implicite, paramétrée ou en coordonnées polaires, applications pratiques des dérivées, dérivées partielles, différentielle totale, forme différentielle, applications des différentielles totales à un calcul de variation et à un problème de physique (thermodynamique)

5.3 Développements limités. Définition, développements limités de fonctions courantes

5.4 Limites. Différentes limites, définition analytique, cas où la fonction et/ou la variable tendent vers l’infini, asymptote, limites des fonctions usuelles, limites de sommes, de produits et de quotients, formes indéterminées, factorisation, règle de l'Hospital, théorèmes de comparaison, limite d'une fonction composée, indications pour la résolution des formes indéterminées, limites des exponentielles

5.5 Etude d'une fonction. Intervalles de définition, parité, limites, variation, tableau et graphique

5.6 Intégration. Notion d'intégrale, les 3 significations, propriétés générales, intégrale fonction d'une borne, valeur moyenne d'une fonction, intégrale indéfinie, constante d'intégration, primitives des fonctions courantes, techniques de calcul, intégration par parties, algorithme d’intégration, changement de variable, cas des fractions rationnelles, cas des fonctions trigonométriques, dérivation sous le signe d'intégration, pistes pour l'intégration, approximation numérique, calcul de surfaces planes, de volumes de révolution, de longueurs de courbes planes et de surfaces de révolution, la trompette de Gabriel, volume et aire latérale d'un tronc de cône infinitésimal

5.7 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance. Notion de logarithme, le nombre e, logarithmes népériens, primitive de 1/x, propriétés des logarithmes, dérivée logarithmique, échelle semi-logarithmique, fonction exponentielle et propriétés, fonction puissance et propriétés, croissances comparées, applications

5.8 Suites, séries et développements en série. Suites et séries, étude des suites, raisonnement par récurrence, méthode de Newton et notion d'algorithme, suite de Fibonacci, étude des séries, série arithmétique, série géométrique, règle de d'Alembert, règle de Cauchy, règle de Duhamel, règles de comparaison, série de Riemann, règle de Riemann, fonction Zêta de Riemann, séries alternées, convergence absolue, séries semi-convergentes, directives pour l'étude d'une série, séries entières, développement en série de fonctions, séries de Taylor et de Mac Laurin, opérations sur les séries entières convergentes, développement en série de fonctions usuelles

5.9 Equations différentielles. Ordre et degré, constante d'intégration, solution générale et solutions particulières, équations linéaires du 1er ordre, équations à variables séparables, équations homogènes, équations du type y" = f(x), équations du type y" = f(y'), équations linéaires du 2ème ordre, applications à la trajectoire d'unprojectile et à la décharge d'un condensateur

6. Géométrie analytique

6.1 Systèmes de coordonnées. Coordonnées rectangulaires, coordonnées polaires et changement de repère

6.2 Vecteurs. Définition, vecteurs libres et vecteurs liés, égalité, composantes, multiplication par un scalaire, addition, cosinus directeurs, théorème de Thalès, moyenne vectorielle, vecteurs indépendants, produit scalaire et produit vectoriel, vecteurs colinéaires et orthogonaux, barycentre

6.3 Points et droites. Distance entre 2 points, alignement de 3 points, définitions d'une droite, vecteur directeur et vecteur normal, conditions de parallélisme et d'orthogonalité, intersection de 2 droites, aire d'un triangle, inéquations linéaires à 2 inconnues

6.4 Notions générales sur les courbes planes. Différents types d'équations, dérivée, équation d'une tangente, équation d'une normale, asymptote, maximum, minimum et point d'inflexion, partage du plan par une courbe y = f(x)

6.5 Courbes de référence. Equation générale des coniques, cercle, ellipse, parabole, hyperbole, parabole cubique, fonction polynôme du 3ème degré, spirales, cycloïde, courbes algébriques et transcendantes, remarque sur les changements de coordonnées

6.6 Notions sur la géométrie analytique dans l'espace. Systèmes de coordonnées, distance entre 2 points, définitions d'une droite, angle entre 2 droites, distance d'un point à une droite, définitions d'un plan, plans parallèles et perpendiculaires, intersection de 2 plans, plan passant par un point, distance d'un point à un plan, plan médiateur, partage de l'espace par un plan, plan tangent à une surface

6.7 Transformations. Translation, homothétie, réflexion, rotation, symétrie centrale, isométries, composition de transformations, similitude

7. Nombres complexes

7.1 Présentation et caractéristiques algébriques. Nombres imaginaires et nombres complexes, opérations, forme trigonométrique, conjugués, forme exponentielle, formules de Moivre et d'Euler, racines nièmes, théorème fondamental de l'algèbre, nombres complexes et nombres réels, résolution d'équations, linéarisation

7.2 Nombres complexes et géométrie. Complexes et vecteurs, complexes et transformations

8. Probabilités et statistiques

8.1 Analyse combinatoire. Permutations, arrangements et combinaisons

8.2 Exemples-type. 7 exemples détaillés avec variable aléatoire qualitative ou quantitative, discontinue ou continue

8.3 Notions principales. Variable aléatoire, fréquence et probabilité, addition et multiplication de probabilités, valeurs centrales, dispersion

8.4 Lois de répartition. Loi binomiale, loi de Poisson, loi normale de Gauss, théorème central limite

8.5 Corrélation et régression. Notions sur la corrélation de 2 variables, la régression linéaire et la méthode des moindres carrés

9. Bibliographie

4.1 Règles de calcul. Ordre des opérations, règle des signes

4.2 Identités remarquables. Identités relatives aux produits, aux proportions, aux puissances, formule de Stirling, formule du binôme, triangle de Pascal, racine carrée, moyennes arithmétique, géométrique et harmonique, application à la musique

4.3 Proportionnalité et règle de trois

4.4 Pourcentages

4.5 Equations du 1er degré

4.6 Systèmes d'équations linéaires. Système de 2 équations linéaires à 2 inconnues, système de n équations linéaires à n inconnues, déterminant, méthode du pivot de Gauss, introduction au calcul matriciel, inversion de matrice

4.7 Inéquations. Règles de calcul, démarche de résolution

4.8 Polynômes. Définitions, fonction polynôme, opérations, racines, décomposition en produit, division euclidienne, fractions rationnelles, décomposition en éléments simples

4.9 Equations et inéquations du 2ème degré. Racines évidentes, méthode générale, discriminant, équations du 1er degré avec racine carrée, équations du 3ème degré avec racine connue, équations du 4ème degré bicarrées, inéquations

4.10 Trigonométrie. Fonctions circulaires, cercle trigonométrique, valeurs remarquables, formules courantes, fonctions de sommes, sommes de fonctions, produits de fonctions, fonctions paramétriques, fonctions inverses

4.11 Algèbre de Boole. Fonctions logiques OU, ET, NON, NON-OU et NON-ET, circuits équivalents, règles de l'algèbre logique, théorème de Morgan